Polynôme optimal
Énoncé:
Si l'on nous présente les k premiers termes d'une suite, il est impossible de dire avec certitude la valeur du terme suivant, car il existe une infinité de fonctions polynomiales qui peuvent modéliser la suite.
À titre d'exemple, considérons la suite des nombres cubiques. Celle-ci est définie par la fonction génératrice
Supposons que l'on ne nous donne que les deux premiers termes de cette suite. En partant du principe que "le plus simple est le mieux", nous devrions supposer une relation linéaire et prédire que le terme suivant sera
Nous définirons
Comme base, si on nous donne seulement le premier terme de la suite, il serait plus raisonnable de supposer la constance ; c'est-à-dire, pour
Par conséquent, nous obtenons les POs suivants pour la suite cubique:
Premiers termes | |
---|---|
Clairement, aucun MPO n'existe pour
En considérant la somme des PTI générés par les MPO (indiqués en rouge ci-dessus), on obtient
Considérons la fonction génératrice polynomiale du dixième degré suivante:
Trouve la somme des PTI pour les MPO.