Problème 65

Énoncé:

La racine carrée de 2 peut être écrite sous la forme d'une fraction continue infinie.

${\displaystyle \sqrt{2}=1+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+\dots }}}}}}}}}$

La fraction continue infinie peut être écrite, $\sqrt{2}=[1;(2)]$, $(2)$ indique que $2$ se repète à l'infini. De manière similaire: $\sqrt{23}=[4;(1,3,1,8)]$.

Il se trouve que la suite des réduites des fractions continues offre les meilleurs approximations rationelles. Considérons les réduites de $\sqrt{2}$.

$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{17}{12}$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{41}{29}$

Par conséquent, la suite des $10$ premières réduites de $\sqrt{2}$ sont:

$1,{\displaystyle \frac{3}{2},{\displaystyle \frac{7}{5},{\displaystyle \frac{17}{12},{\displaystyle \frac{41}{29},{\displaystyle \frac{99}{70},{\displaystyle \frac{239}{169},{\displaystyle \frac{577}{408},{\displaystyle \frac{1393}{985},{\displaystyle \frac{3363}{2378},\dots }}}}}}}}}$

Ce qui est encore plus surpenant est que la constante mathématique la plus importante,

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\dots ,1,2k,1,\dots ]$

Par conséquent, la suite des $10$ premières réduites de $e$ sont:

$2,3,{\displaystyle \frac{8}{3},{\displaystyle \frac{11}{4},{\displaystyle \frac{19}{7},{\displaystyle \frac{87}{32},{\displaystyle \frac{106}{39},{\displaystyle \frac{193}{71},{\displaystyle \frac{1264}{465},{\displaystyle \frac{1457}{536},\dots }}}}}}}}$

La somme des chiffres dans le numérateur de la dixième réduite est $1+4+5+7=17$.

Trouve la somme des chiffres dans le numérateur de la $100$ème réduite de la fraction continue de $e$.

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